8.7 Moda

Moda – A moda de um conjunto de dados estatísticos é o valor ou categoria que ocorre com maior frequência.
Representa-se por Mo.

Para um conjunto de dados pode existir mais do que uma moda ou até pode nem existir.

• Se o conjunto de dados tiver uma única moda, esse conjunto diz-se unimodal.

• Se o conjunto de dados tiver duas modas, diz-se bimodal; no caso de ter mais que duas modas, diz-se multimodal.

• Se o conjunto de dados não tiver moda, diz-se amodal.

Exemplo:

Verifica-se que a cor “preto” é a mais frequente, logo, a moda.

8.6 Classe mediana. Mediana aproximada para dados agrupados em intervalos

Para o cálculo de um valor aproximado da mediana admite-se que os valores se distribuem uniformemente em cada classe. Assim, aplica-se uma regra de três simples para o cálculo do valor aproximado da mediana.
 
Exemplo:

O Rodrigo, mediu os seus colegas da turma para determinar a mediana.

A classe mediana é [1,60 ; 1,65[
0,78 – 0,48 = 0,3          0,50 – 0,48 = 0,02

0,3 ----- 0,05          x = 0,0033

0,02 ----- x             x = 1,60 + 0,033 = 1,6033

A mediana é, aproximadamente, 1,6033

8.5 Mediana para dados simples ou agrupados

Se x1 , x2 , … , xn representam n valores ordenados de uma variável quantitativa, chama-se mediana e pode representar-se por Md .

• Se o valor da variável que ocupa a posição central é impar:

• Se o valor da variável que ocupa a posição central é par:

8.4 Propriedades da média

Propriedade 1: 
Adicionando um valor constante a cada um dos elementos de um conjunto de números, a média vem adicionada a essa constante.


Exemplo:
O Rodrigo decidiu aumentar três valores a cada uma das classificações dos seus alunos. A média dos resultados finais, depois deste aumento, vem acrescida de três valores


Propriedade 2:
Multiplicando cada elemento de um conjunto de números por uma constante, a média vem multiplicada por essa constante.



Propriedade 3:
Dados dois conjuntos de números, com o mesmo número n de elementos, de médias x e x1 respetivamente, o conjunto obtido pela soma dos elementos dos conjuntos dados, um a um, é um conjunto de n números de média x + x1 .
A Anabela no teste a seguir decidiu aumentar 20% a cada uma das notas dos seus alunos. A média dos resultados finais, depois deste aumento, bem multiplicada por 1,2 (x + 0,2x =1,2x)

8.3 Utilização da calculadora gráfica para obter a média

Podemos usar a calculadora gráfica para calcular a média para os dados simples ou dados agrupados em classes.

Exemplo:

Em L1 colocamos o número de primos e em L2 as frequências absolutas

 Seguidamente  fazemos “stat” e selecionamos a opção “calc” em que escolhemos a primeira opção “1 – Var Stats”

 Finalmente, indicamos as listas que queremos ver a variável estatística e carregamos “enter” e irá aparecer-nos, logo em primeiro, a média entre outros..:

Neste caso a média é 1,48

8.2 Média aproximada para dados agrupados em intervalos

Ao calcular a média a partir de dados agrupados, em que as classes são intervalos, não se obtém o valor exato da média, mas sim um valor aproximado. Assim, se os dados estão agrupados em classes, o valor aproximado da média calcula-se usando as fórmulas anteriores, mas considerando xi o ponto médio da classe i.

Exemplo:

O pai da Adriana disse-lhe que ela está sempre a fazer zapping enquanto ela tenta ver a novela.

Para mostrar ao pai que está errado, a Adriana registou o número de vezes que fez zapping durante os 31 dias do mês passado e calculou a média:

x = 342/31 = 11,05
A Adriana fez zapping aproximadamente 11 vezes por dia, durante um mês.

8.1 Média para dados simples e dados agrupados

Média – A média de um conjunto de dados numéricos é o quociente entre a soma de todos os elementos da amostra e o número de elementos da amostra.
 
Exemplo:

A Ana registou o número de vezes que ligava para o namorado por dia durante o mês de Maio.

1 x 1 + 6 x 2 + 5 x 3 + 4 x 4 + 4 x 5 + 5 x 6 + 3 x 7 + 2 x 8 / 30 = 131/30 = 4,4

Em média, a Rita ligou para o namorado 4,4 vezes por dia.

7.13 Considerações gerais sobre representações gráficas

No dia-a-dia encontramos muitos outros tipos de gráficos dos que os que foram apresentados neste capítulo.

Exemplos:

Gráficos de linhas ou cronogramas

Pirâmides etárias

7.12 Diagrama de caule-e-folhas

Esta forma de organização de dados tem a particularidade de permitir ao observador uma perceção do aspeto global da forma como os dados se distribuem sem que, ao mesmo tempo, se perca a informação.

Separa-se o dígito das dezenas, a que chamamos caule, do dígito das unidades, a que chamamos folha.

Exemplo:

Vantagens:

• Todos os dados da amostra aparecem no gráfico.

• Dá uma interpretação visual sobre a forma como os dados se distribuem.

• Permite ordenar rapidamente a amostra.

• Facilita a leitura ou a determinação de medidas estatísticas.

• É muito sugestivo para comparar duas amostras.

• Não é necessário construir previamente uma tabela de frequências.

Desvantagens:

• Difícil construção quando a amplitude dos intervalos é diferente. Com as calculadoras ou computadores este problema é ultrapassado.

7.11 Função cumulativa para dados agrupados em classes

Exemplo:
Tabela relativa a uma amostra da massa, em quilogramas, de 50 abóboras.

O limite inferior da segunda classe é o 6 e a frequência acumulada é a frequência da classe anterior, ou seja, 0,1.

Admitindo que a frequência se distribui uniformemente sobre a classe, une-se o ponto de coordenadas (3 , 0) com o ponto de coordenadas (6 ; 0,1).

Procede-se de modo idêntico até se chegar à última classe.

O gráfico continua com o segmento ao eixo Ox pois sabemos que a frequência relativa acumulada correspondente ao seu limite superior é igual a 1.

7.10 Polígonos de frequências para dados agrupados em classes

O polígono de frequências para dados agrupados em classes resulta da união sucessiva, através de segmentos de reta, dos pontos médios dos lados superiores dos diferentes retângulos de um histograma.

Para a sua construção, localiza-se o ponto cuja abcissa é igual ao ponto médio da classe e a ordenada é a correspondente à frequência da classe. Unem os sucessivos pontos formando um polígono. De modo a obter uma figura fechada, juntam-se classes extra, uma de cada lado, de frequência zero.

Temos como exemplos:

Vantagens:

• Permite comparar histogramas utilizando apenas os respetivos polígonos de frequência no mesmo quadro.

Desvantagens:

• Difícil construção manual. Usando tecnologia este problema fica ultrapassado.

7.9 Histograma

No caso de uma variável contínua é muito frequente representar graficamente os dados através de um histograma.

• O gráfico deve ter um título adequado;

• Os dados estão agrupados em classes (sejam contínuos ou discretos);

• A área da barra retangular é proporcional à frequência;

• Os diferentes valores da variável estão representados no eixo horizontal que está dividido numa escala contínua como um eixo cartesiano;

• No eixo vertical estão representadas as frequências das classes;

• As barras são desenhadas verticalmente e correspondem a cada uma das classes em que os valores foram agrupados;

• Não há espaço entre as barras.

Temos como exemplos:

Vantagens:

• Para determinadas situações é a única forma correta de apresentar os dados.

• O histograma dá a ideia da forma como se distribuem os dados.

Desvantagens:

• Difícil construção quando a amplitude dos intervalos é diferente. Com as calculadoras gráficas ou computadores este problema é ultrapassado.

7.8 Função cumulativa para dados discretos

As frequências acumuladas são representadas graficamente pela função cumulativa.
A função cumulativa indica, para cada valor real x, a frequência absoluta (ou relativa) de observações menores ou iguais a x.

Exemplo:
A 20 trabalhadores de uma empresa perguntou-se qual era a despesa que tinha, em euros, por semana, em transportes públicos.
Os dados obtidos foram

:
N (x) = 0 se x <14
           4 se 14 < x < 15
          11 se 15 < x < 16
          16 se 16 < x < 17
          18 se 17 < x < 18
          19 se 18 < x < 19
          20 se x > 19
        
E obtemos uma representação gráfica deste tipo:

 

7.7 Pictogramas

Os pictogramas são gráficos muito semelhantes aos gráficos de barras. A única diferença reside no facto de se utilizarem símbolos mais atraentes alusivos à situação concreta em estudo.

• Indicar no gráfico o significado de cada símbolo;

• Utilizar símbolos sugestivos em relação à variável estatística em estudo;

• Utilizar sempre o mesmo símbolo;

• Desenhar os símbolos em linhas ou colunas;

• Espaçar igualmente os símbolos;

• Expressar as diferentes frequências através de um maior ou menor número de símbolos, não aumentando ou diminuindo o tamanho do símbolo;

• O gráfico deve ter um título adequado.

Temos como exemplos:

 

Vantagens:

• Muito atrativo.
• Grande impacto visual.

Desvantagens:

• Dá pouca informação.
• Pouca precisão.

7.6 Gráficos circulares

Os gráficos circulares são uma boa forma de mostrar como um todo está repartido.

• A amplitude de cada setor é proporcional à frequência que representa;

• A legenda pode ser dispensada, inscrevendo-se os valores da variável e as suas frequências juntos dos respetivos setores circulares a que se referem;

•  Podem-se usar cores diferentes para os diferentes setores; o gráfico deve ter um título adequado.

Temos como exemplo:

Vantagens:

• É útil quando a análise das proporções é mais importante do que o valor real. Tem um forte impacto visual.

Desvantagens:

• Só pode ser usado quando a variável toma poucos valores. Um só um gráfico não permite comparar dois grupos de dados.

7.5 Representação gráfica. Gráficos de barras

 A representação gráfica é um tema complexo onde se intersetam áreas diversas como a estatística, a psicologia e o desenho.

Um gráfico pode estar correto do ponto de vista estatístico, mas não ser atrativo nem de leitura fácil.

Exemplo
:
Gráfico de barras verticais:

Gráfico de barras simples horizontais:

Vantagens:

• Permite estabelecer comparações facilmente.

• Tem forte impacto visual.

Desvantagens:

• Só pode ser usado para transmitir informações simples.

Gráfico de barras agrupadas:

 

Vantagens:

• Permite comparar diferentes grupos de dados para os mesmos valores da variável.

Desvantagens:

• Não pode ser utilizado para variáveis que apresentam muitas modalidades.

Sobreposição em gráfico de barras:

 Vantagens:

• Em grupos diferentes de dados permite comparar valores da mesma modalidade e comparar totais relativos a cada modalidade.

Desvantagens:

• Poucos grupos de dados podem ser utlizados.

7.4 Tabela de frequências para dados contínuos

No caso de os dados serem de natureza contínua a construção da tabela de frequências não é tão simples como no caso dos dados discretos, pois é necessário definir previamente o número de classes.

[1,80 ; 1,85[ - representa uma classe em que 1,80 é o limite inferior da classe; 1,85 é o limite superior da classe, 1,85-1,80 = 0,05 é a amplitude da classe e 1,80 + 1,85/2 = 1,83 é a marca da classe.
Normalmente, para determinar o número de classes de um conjunto de dados usa-se a regra de Sturges

Regra de Sturges – Para organizar uma amostra, de dados contínuos, de dimensão n pode considerar-se para números de classes o valor k onde k é o menor número inteiro tal que 2k > n .

Temos como exemplo:

A massa, em gramas, de 50 pães produzidos numa padária foi registada na seguinte tabela:

Primeiramente, temos de determinar o número de classes que se irá usar na tabela:
n = 50 ;  < 50 e  > 50 – 6 classes

Depois, temos de determinar a amplitude de cada classe (diferença entre o valor máximo e mínimo):
29 (nº maior) – 18 (nº menor) = 11       e       11:6 (nº de classes) = 1,8  consideremos 2 para amplitude de classe.

7.3 Tabelas de frequência para dados qualitativos ou quantitativos discretos

Para construirmos uma tabela de frequências precisamos de realizar dois calculos importantes, a saber:
 
Frequência absoluta – A frequência absoluta de uma categoria, classe ou valor é o número de elementos da amostra iguais a cada uma das categorias. Representa-se por ni.

Frequência relativa – A frequência relativa é igual ao quociente entre a frequência absoluta e o número total de dados na amostra em estudo. Representa-se fi.

A frequência absoluta acumulada (Ni) e a frequência relativa acumulada (Fi) obtêm-se adicionando as frequências absolutas e relativas, respetivamente, até ao valor considerado da variável estatística.

Exemplo:

7.2 Variáveis quantitativas discretas e contínuas

Quando as variáveis estatísticas são quantitativas, pode-se ainda dividi-las em dois grupos: discretas ou contínuas.
 

Variável quantitativa discreta – São as variáveis quantitativas de contagem, isto é, as que se referem a características que só se podem contar e não se podem medir.

Exemplo: 
A variável “número de irmãos” caracteriza-se “discreta” porque mesmo antes de se fazer uma observação, sabe-se que se vão encontrar dados estatísticos que, em termos geométricos, seriam representados na reta real por pontos isolados em número finito ou infinito.


Variável quantitativa contínua – São as variáveis quantitativas de medição, isto é, as que se podem medir.

Exemplo:
A variável “altura dos alunos” caracteriza-se “contínua” porque mesmo antes de se fazer uma observação, sabe-se que se podem encontrar dados estatísticos que, em termos geométricos, seriam representados na reta real por qualquer ponto de um intervalo.

7.1 Variáveis estatísticas. Variáveis qualitativas e quantitativas

Cada elemento de uma unidade estatística tem muitos caracteres, características ou atributos a que chamamos variáveis.

Variável estatística qualitativa – É uma variável que assume diversas modalidades, categorias ou outras características, não suscetíveis de medição, mas sim de classificação.

Exemplo:

Variável estatística quantitativa – Uma variável diz-se quantitativa (ou numérica) se se referir a uma característica que se possa contar ou medir.

Exemplo:

6.3 Considerações gerais sobre técnicas de amostragem

Existem vários tipos de amostragem dependendo dos parâmetros.
Eles são:

Suponhamos que temos uma escola com 125 alunos e uma amostra de 30 alunos.


Amostragem aleatória simples
É toda a amostra em que a probabilidade de qualquer outro conjunto de n elementos da população ser selecionado é a mesma.

Exemplo:
Escrevem-se os 125 nomes dos respetivos alunos em 125 papéis; dobram-se os papéis; metem-se numa caixa e baralham-se; uma pessoa tira, aleatoriamente, um a um, 30 alunos.



Amostragem aleatória sistemática
Escolhe-se aleatoriamente um elemento x de entre os k primeiros, onde k é a parte inteira do quociente  . A partir de x escolhem-se sucessivamente os elementos, x + k , x + 2k , …

Exemplo:
Ordenam-se todos os indivíduos da população; depois considera-se o quociente 125:30 = 4,1666… e escolhe-se um aluno ao acaso entre os 4 (parte inteira do quociente) primeiros da lista ordenada, por exemplo, o 3; continua-se a seleção, escolhendo todos os alunos da lista distanciados de 4 alunos até obtermos os 30 alunos da amostra.



Amostragem estratificada ou proporcional
Nesta amostragem a população é dividida em classes homogéneas, chamadas estratos.
Feitos os estratos, a amostra escolhe-se aleatoriamente em número proporcional ao número de elementos de cada estrato.

Exemplo:
125 – 30              125 – 30              125 - 30
80 – x                  50 – x                    70 – x
x = 19,2                 x =  3,6                  x = 7,2
Então, selecionar-se-iam 19 alunos da zona A, 4 da zona B e 7 da zona C.



Amostragem por grupos (clusters)
A população é dividida em clusters, onde cada cluster é representativo da população.
Seleciona-se aleatoriamente um conjunto de clusters e a amostra é constituída por todos os elementos dos clusters selecionados.

Exemplo:
Suponhamos que pretendíamos saber a satisfação das empresas de Lisboa.
Não dispondo de uma lista de todas as empresas, considera-se uma lista de todas as empresas (clusters) e a partir dela selecionam-se aleatoriamente alguns empresários, considerando-se a amostra constituída pelos empresários das empresas selecionadas.


 
Amostragem multietapas
A população é dividida em vários grupos e selecionam-se aleatoriamente alguns dos grupos. Por sua vez, estes grupos ainda estão divididos em grupos dos quais se selecionam alguns aleatoriamente.
O processo repete-se até ser possível continuar a constituir grupos.

Exemplo:
Para uma sondagem eleitoral considera-se Portugal dividido em regiões, dentro de cada região estimam-se os grupos de centros populacionais com dimensão semelhante, selecionam-se aleatoriamente algumas destas cidades, as cidades são divididas em freguesias e algumas das freguesias são selecionadas aleatoriamente. No fim, em cada freguesia são escolhidos alguns elementos da população para inquirir.

6.2 Censos e sondagens

Num censo ou recenseamento é feita a análise de todos os elementos da população em causa e tem-se por objetivo não só a enumeração dos seus elementos, como também o estudo de características importantes.
A alternativa à realização de um censo é uma sondagem.
 
Censo ou recenseamento – é um estudo estatístico de um universo de pessoas, instituição ou objetos físicos com o propósito de adquirir conhecimentos, observando todos os seus elementos e fazer juízos quantitativos acerca de características importantes desse universo.

Sondagem – é um estudo científico de uma parte da população com o objetivo de melhor conhecer atitudes, hábitos e preferências da população relativamente a acontecimentos, circunstâncias e assuntos de interesse comum.

A realização de sondagens é tão habitual nas sociedades atuais que podemos dizer que elas se relacionam, em maior ou menor grau, com a vida da generalidade das pessoas. Por exemplo, recorrendo a especializadas, os partidos políticos encomendam sondagens para estimar o número de votantes e/ou para avaliar o impacto público das suas posições, as empresas promovem sondagens para ver o número de compradores dos seus produtos e os investigadores efectuam sondagens para avaliar o impacto social das suas descobertas.

6.1 População e amostra. Unidade Estatística

Na maior parte dos estudos estatísticos é necessário tirar conclusões gerais acerca de um grande conjunto de individuos - população- baseando-nos num número restrito desses individuos -amostra.

População - Conjunto de unidades individuais, que podem ser pessoas, animais ou resultados experimentais, com uma ou mais caracteristicas em comum, que se pretendem analisar.

Amostra: Parte da população que é observada com o objectivo de obter informações para estudar para estudar a característica  pretendida.

Cada elemento da população é uma unidade estatística.

Dimensão da amostra: É o número de elementos da amostra e, normalmente representa-se por "n."

A maior parte dos estudos estatísticos é baseada em amostras e isso deve-se fundamentalmente a pelo menos uma das seguintes razões:

• a população ser infinita;
• o estudo da população poder conduzir à sua destruição
• o estudo da população ter custos muito elevados